Leyes Asociadas a los Cambios de Presión
Ecuación de continuidad
Es un principio físico muy útil para la descripción de los fenómenos en los que participan fluidos en movimiento. Antes de entrar en la deducción de la ecuación debemos definir algunos conceptos importantes para su comprensión:
1. Líneas de corriente o de flujo: Para muchas aplicaciones resulta conveniente considerar el flujo total del fluido en movimiento como un manojo de corrientes muy finas (infinitesimales) que fluyen paralelas. Estas corrientes, que recuerdan hilos, se conocen como líneas de corriente.
2. Flujo laminar: Cuando las líneas de corriente de un flujo nunca se cruzan y siempre marchan paralelas se le llama flujo laminar. En el flujo laminar siempre las líneas de corriente marchan en la misma dirección que la velocidad del flujo en ese punto.
3. Flujo turbulento: En el flujo turbulento el movimiento del fluido se torna irregular, las líneas de corriente pueden cruzarse y se producen cambios en la magnitud y dirección de la velocidad de estas.
4. Número de Reynolds (NR): Es un número adimensional que relaciona las propiedades físicas del fluido, su velocidad y la geometría del ducto por el que fluye.
Para un fluido que circula por el interior de una tubería circular recta, el número de Reynolds viene dado por:
(P12)
o equivalentemente por:
(P13)
donde:
ρ: densidad del fluido
v: velocidad característica del fluido
Di: diámetro de la tubería a través de la cual circula el fluido o longitud característica del sistema
μd: viscosidad dinámica del fluido
μc: viscosidad cinemática del fluido
El número de Reynolds varía en los conductos según la característica del flujo que transite:
NR < 2100 Flujo Laminar
2100 < NR < 4000 Flujo de transición
NR > 4000 Flujo Turbulento
Para hacer la deducción de la ecuación de continuidad se parte de las bases ideales siguientes:
-
El fluido es incompresible.
-
La temperatura del fluido no cambia.
-
El flujo es continuo, es decir su velocidad y presión no dependen del tiempo.
-
El flujo es laminar. No turbulento.
-
No existe rotación dentro de la masa del fluido, es un flujo irrotacional.
-
No existen pérdidas por rozamiento en el fluido.
Se considera un tubo imaginario de sección variable formado por un conjunto de líneas de corriente del interior de un fluido en movimiento, como se muestra en la figura P7.
Figura P7.
En un intervalo pequeño de tiempo Δt, el fluido que entra por el fondo del tubo imaginario recorre una distancia:
(P14)
Siendo v1 la velocidad del fluido en esa zona. Si A1 es el área de la sección transversal de esta región, entonces la masa de fluido contenida en la parte azul del fondo (ΔM1) es:
(P15)
Donde ρ es la densidad del fluido. De la misma forma el flujo que sale por el extremo superior del tubo imaginario en el mismo tiempo Δt tiene la masa (ΔM2):
(P16)
Como la ley de conservación de la masa de fluido a través de dos secciones (sean éstas A1 y A2) de un conducto (tubería), establece que: la masa que entra es igual a la masa que sale; entonces, la masa que fluye a través del fondo del tubo en la sección A1, en el tiempo Δt, será igual a la que fluye en el mismo tiempo a través de A2.
Por lo tanto, ΔM1 = ΔM2, ó:
(P17)
Simplificando Δt, tenemos que:
(P18)
La ecuación 12 se conoce como ecuación de continuidad.
Si ρ1 = ρ2 y la ecuación de continuidad se reduce a:
(P19)
Es decir, el área de la sección transversal de un tubo, multiplicada por la velocidad del fluido es constante a todo lo largo del tubo. El producto A.v, que tiene las dimensiones de volumen por unidad de tiempo se conoce como caudal (Q).
(P20)
Ecuación de Bernoulli
La expresión matemática fundamental que vincula la presión, la velocidad y la altura de un fluido que circula por un tubo se le conoce como Ecuación de Bernoulli y ella en sí misma no constituye una ley independiente de la física, es, en su lugar, una consecuencia de la ley de la conservación de la energía aplicada a un fluido ideal.
Figura P8.
Consideremos ahora el flujo a través de un tubo no uniforme durante un tiempo Δt como se muestra en la figura 6. La fuerza (F) en la parte baja del tubo es P1.A1, donde P1 es la presión y A1 es el área de la sección en esa región del tubo.
El trabajo realizado (T1) por el flujo colocado detrás de un anillo de fluido para desplazarlo la distancia Δx1 en la parte baja del tubo es:
(P21)
(P22)
(P23)
(P24)
Y el cambio en la energía potencial es:
(P25)
Si se aplica ahora el teorema trabajo-energía en la forma: T = ΔEc + ΔEp, a este volumen de fluido y sustituimos los valores correspondientes a la ecuación 22 tenemos que:
Teniendo en cuenta que el volumen V= m/ρ, y reagrupando los términos, obtenemos la ecuación de Bernoulli:
(P26)
(P27)
En palabras, la ecuación de Bernoulli dice que:
“La energía total de un fluido ideal (viscosidad cero), es constante a lo largo de una trayectoria”.
Donde V es el volumen de la región inferior de longitud Δx1, de la figura A3.8.
De la misma manera, el trabajo (T2) hecho sobre el fluido en la porción alta del tubo en el mismo tiempo Δt es:
Como se considera que el fluido es incompresible el volumen del fluido que circula a través del área A1 en el tiempo Δt es igual al que lo hace a través de A2 en el mismo tiempo. Observe también que el trabajo T2 es negativo debido a que la fuerza en el fluido en la parte alta del tubo se opone a su desplazamiento.
El trabajo neto hecho por esas fuerzas en el tiempo Δt es:
Parte del trabajo neto realizado ha cambiado la energía cinética del fluido y parte se ha utilizado para cambiar su energía potencial gravitacional al ganar en elevación. Si m es la masa que pasa por dentro del tubo en el intervalo de tiempo Δt, entonces el cambio de energía cinética del volumen de fluido es: