Por principio de presión diferencial.
Figura F1. Ecuación de Bernoulli aplicada a una tubería
(F1)
Donde:
p1 y p2: son las presiones aguas arriba y aguas debajo de la placa respectivamente (pascal).
v1 y v2: velocidades aguas arriba y aguas debajo de la placa respectivamente (m/s).
z1 y z2: alturas a las cuales se realiza la medición (m).
ρ: Densidad del fluido (Kg/m3).
La cual se completa por la ecuación F2 de la conservación de la masa (continuidad).
(F2)
Observaciones:
-
Suponiendo que la diferencia es pequeña, se obtiene la expresión F3:
(F3)
-
Si el flujo es incompresible, con la expresión F4:
(F4)
La ecuación de Bernoulli queda:
(F5)
Reordenando la ecuación convenientemente queda la expresión F6:
(F6)
Organizando la ecuación de continuidad nos queda la expresión F7:
(F7)
Donde:
(F8)
(F9)
Donde:
D: diámetro de la tubería (mm).
d: diámetro de la contracción (mm).
A1: área de la tubería (mm2).
A2: área de la contracción (mm2).
Se agrupan todas las ecuaciones anteriores, y se simplifican, tal como se muestra a continuación:
Obtenemos la ecuación F10:
(F10)
Finalmente utilizando la ecuación F11, se obtiene el flujo volumétrico Qv (ecuación F12).
(F11)
(F12)
Si se desea calcular el flujo másico tendremos que multiplicar la ecuación F12 por la densidad, obteniendo las expresiones F13 y F14:
(F13)
(F14)
A esta ecuación básica se le deben agregar algunos factores de corrección que van a tomar en cuenta la caída de presión por las fuerzas de fricción en el elemento, la forma del elemento, la temperatura del fluido, así como el efecto de la compresibilidad del fluido en el caso de gases que pueden tender a fluidos compresibles. Estos factores de corrección se determinan experimentalmente y pueden tomar diversas formas según los investigadores que las determinan y las organizaciones que se encargan de certificar y normalizar estos resultados.
Entre las organizaciones que se encargan de estas normalizaciones encontramos la ASME, la AFNOR y la ISO, nos basaremos en los procedimientos indicados por la norma ISO-5167, ya que esta organización es la de mayor importancia en cuanto a normalización a nivel mundial.
Resumen Norma ISO-5167.
Esta norma se refiere a la medición de flujo con instrumentos de reducción de área, para tuberías de área circular totalmente llena de fluido.
Según esta norma el flujo másico de cualquier fluido se determina mediante la siguiente expresión F15:
(F15)
Donde:
C: es el coeficiente de descarga que depende del elemento primario (Venturi, tobera o placa orificio) y de las condiciones del flujo, que se determina experimentalmente.
ε: es el coeficiente de expansión, que toma en cuenta la compresibilidad del fluido.
El cálculo del flujo volumétrico se realiza con la expresión F16:
(F16)
Donde:
ρ : Es la densidad del fluido en las condiciones en que se realiza la medición (Kg/m3)
Adicionalmente por lo general se requiere del número de Reynolds, que se obtiene con las expresiones F17 y F18:
(F17)
(F18)
Debido a que la determinación del flujo mediante la expresión anterior está sujeta a diversas mediciones, tales como tamaño, presión, y la determinación de coeficientes experimentales, esta presenta ciertas incertidumbres, pudiéndose calcular la incertidumbre global con la expresión F19:
(F19)
Dicha expresión relacional, indica en forma adimensional la estimación del error que se puede producir en la medición en las condiciones de realización de la medida o experimento.
Debido a que en la mayoría de los casos el coeficiente de descarga y el coeficiente de expansión dependen del flujo a través del número de Reynolds, se requiere por lo general un proceso iterativo para el cálculo de las incógnitas en cada problema. Existen básicamente cuatro problemas típicos a resolver en la medición de flujo con estos instrumentos:
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El cálculo directo del caudal Qm o QV para un instrumento ya instalado.
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El cálculo del diámetro de la contracción d, cuando se requiere diseñar un instrumento a ser instalado.
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El cálculo de la diferencia de presión ΔP para la selección del medidor de presión diferencial a instalar.
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El cálculo del diámetro de la tubería D cuando se quiere saber en qué tubería se puede instalar un instrumento existente.
En estos cuatro casos se deberá utilizar un procedimiento iterativo para realizar los cálculos. Las normas ISO recomiendan para este respecto utilizar el procedimiento siguiente:
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Agrupar en un miembro denominado invariante (Ai en tabla F1), todos los términos conocidos de la expresión general del flujo.
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Con el resto de los términos se obtiene una expresión en función de los términos variables que se denotará X1.
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Se introduce un valor inicial lógico para la iteración y se calcula una diferencia entre los dos miembros que se denominará δ1.
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Con la diferencia calculada se calculará un segundo término variable X2 y el segundo término de diferencia δ2.
-
Seguidamente se calcularán los siguientes términos variables mediante el algoritmo iterativo de rápida convergencia determinado por la expresión 20:
(20)
Esto se realizará hasta que la diferencia obtenida sea lo suficientemente pequeña para ser admitida.
La tabla F1. resume para cada uno de los casos de cálculo de los términos que deben ser considerados para este cálculo iterativo:
Tabla F1. Cálculo de los términos para medición de flujo para tuberías circulares.
Instrumentos de presión diferencial:
La medición del caudal con estos instrumentos se basa en la aplicación de la conservación de la energía a un flujo, tomando la diferencia de presión existente entre dos puntos, en donde el flujo posee diferentes velocidades. Este cambio de velocidad se produce por una reducción de área (placa orificio, tobera de flujo, tubo de Venturi, tubo de Dall, cuña de flujo) o por una disminución de la velocidad hasta cero (tubo de Pitot, tubo Annubar).
La ecuación que gobierna el funcionamiento de estos instrumentos es la ecuación de Bernoulli en caso de flujos incompresibles (líquidos) o la primera ley de la termodinámica en flujos compresibles (gases). Debe notarse sin embargo que la ecuación de conservación de la energía puede escribirse de una forma muy similar a la ecuación de Bernoulli en ciertas condiciones de flujo, por lo tanto la ecuación utilizada en la práctica común proviene de dicha ecuación y se le agrega un factor para corregir la compresibilidad del fluido ( ε ).
Si aplicamos la ecuación de Bernoulli entre un punto en la tubería (1) y un punto en la contracción (2) (ver figura F1) tendremos la ecuación F1:
